Задача: найти отношение площади ромба и площади параллелограмма

Рассмотрим задачу, в которой необходимо найти отношение площади ромба к площади параллелограмма, вершины ромба лежат на сторонах параллелограмма, а его стороны параллельны диагоналям параллелограмма (по материалам ОГЭ по математике, №26 в спецификации 2018 года).

Задача. Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно 28.

Источник. Решу ОГЭ. Образовательный портал для подготовки к экзаменам. https://math-oge.sdamgia.ru/test?theme=85, №2.

Подсказка №1
Обозначим:
a — сторона ромба,
d — меньшая диагональ параллелограмма,
28d — большая диагональ параллелограмма.
Надо найти \frac{a}{d}, используя подобие треугольников
Подсказка №2
Треугольник AMN подобен треугольнику ABD, значит

    \[\frac{a}{28d}=\frac{AN}{AD}\]

Треугольник DNK подобен треугольнику DAC, значит

    \[\frac{a}{d}=\frac{AD-AN}{AD}\]

Найти \frac{a}{d}

Подсказка №3

    \[\frac{a}{d}=\frac{28}{29}\]

Подсказка №4
Пусть \angle NML=\angle AOB=\alpha

    \[S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot d\cdot 28d \cdot \sin{\alpha}\]

    \[S_{MNKL}=a^2 \cdot \sin{\alpha}\]

    \[\frac{S_{MNKL}}{S_{ABCD}}=\]

Подсказка №5

    \[\frac{S_{MNKL}}{S_{ABCD}}=\frac{a^2 \cdot \sin{\alpha}}{14 \cdot d^2 \cdot \sin{\alpha}}=\frac{1}{14}\cdot \left(\frac{a}{d}\right)^2\]

Ответ

    \[\frac{S_{MNKL}}{S_{ABCD}}=\frac{56}{841}\]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте, как обрабатываются ваши данные комментариев.

➤