Графическое решение задания с параметром

Найти все значения параметра, при каждом из которых система уравнений имеет ровно три различных решения

    \[\left\{ \begin{aligned} (x&y^2-2xy-8y+16)\cdot\sqrt{8-x}=0,\\ y&=ax.\\ \end{aligned} \right.\]

Решение: 

Изобразим в системе координат xOy область x\le8, прямые y=2, x=8 и гиперболу y=\frac{8}{x}. Будем считать точки пересечения у подвижной прямой y=ax c этими линиями в области x\le8

Область изменения параметра a, в которой система уравнений имеет ровно три решения изображена на рисунке:

    \[A(8;1)\Rightarrow a=\frac{y}{x}=\frac{1}{8}\]

    \[B(8;2)\Rightarrow a=\frac{y}{x}=\frac{1}{4}\]

    \[C(4;2)\Rightarrow a=\frac{y}{x}=\frac{1}{2}\]

Ответ: a\in\left(\frac{1}{8};\frac{1}{4}\right]\cup\left\{\frac{1}{2}\right\}

Интерактивная модель (ГеоГебра) + анимация в формате mp4

Источник

№18, Вариант 17, стр.130
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2018. Профильный уровень. 40 тренировочных вариантов по демоверсии 2018 года: учебно-методическое пособие / Под ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион, 2017. – 416 с.

Задание для самостоятельного решения

Найти все значения параметра, при каждом из которых система уравнений имеет ровно три различных решения

    \[\left\{ \begin{aligned} \frac{xy^2-3xy-6y+18}{\sqrt{9-x}}&=0,\\ y&=ax.\\ \end{aligned} \right.\]

Ответ: a\in\left(\frac{1}{3};\frac{3}{2}\right)\cup\left(\frac{3}{2};+\infty\right)

Источник: Там же, №18, Вариант 18, стр.136

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.