Уравнение с модулем: рациональный прием

Уравнения с модулем вызывают трудности у многих школьников. Они традиционно считаются заданиями повышенной трудности. При этом есть стандартные методы решения (технические), а в некоторых ситуациях появляется возможность существенно сократить объем технической работы. Рассмотрим пример.

Пример. Решить уравнение $\left|\left|\left|x-3\right|+3\right|-3\right|=3$ .

1 способ (рациональный):

Так как $\left|x-3\right|\geq0$ , то $\left|x-3\right|+3\geq3>0$ . Поэтому $\left|\left|x-3\right|+3\right|=\left|x-3\right|+3$ .

Получаем уравнение:

$\left|\left|x-3\right|+3-3\right|=3$

$\left|\left|x-3\right|\right|=3$

$\left|x-3\right|=3$

Модуль равен 3, если выражение под знаком модуля равно 3 или -3, получаем:

$\begin{bmatrix}x-3=3,\\x-3=-3;$

$\begin{bmatrix}x=6,\\x=0.$

Ответ: $x=0; x=6$ .

2 способ (технический):

$\left|\left|\left|x-3\right|+3\right|-3\right|=3$

Модуль равен 3, если выражение под знаком модуля равно 3 или -3:

$\begin{bmatrix}\left|\left|x-3\right|+3\right|-3=3,\\\left|\left|x-3\right|+3\right|-3=-3;$

$\begin{bmatrix}\left|\left|x-3\right|+3\right|=6,\\\left|\left|x-3\right|+3\right|=0;$

Модуль равен 6, если выражение под знаком модуля равно 6 или -6.
Модуль равен нулю, если выражение под знаком модуля равно нулю.

$\begin{bmatrix}\left|x-3\right|+3=6,\\\left|x-3\right|+3=-6,\\\left|x-3\right|+3=0;$

$\begin{bmatrix}\left|x-3\right|=3,\\\left|x-3\right|=-9,\\\left|x-3\right|=-3.$

Модуль не может принимать отрицательные значения, поэтому остается одно уравнение

$\left|x-3\right|=3$

Модуль равен 3, если выражение под знаком модуля равно 3 или -3:

$\begin{bmatrix}x-3=3,\\x-3=-3;$

$\begin{bmatrix}x=6,\\x=0.$

Ответ: $x=0$ ; $x=6$ .

Задания для самостоятельного решения:

1) $\left|\left|\left|x-2\right|+4\right|-1\right|=3$

Ответ

2

2) $\left|\left|\left|x+3\right|+1\right|-2\right|=5$

Ответ

-9; 3

Решения заданий на самостоятельную работу для проверки можно прислать на электронную почту sinpix@yandex.ru.

Добавить комментарий Отменить ответ

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте, как обрабатываются ваши данные комментариев.

➤