Приведем решение стереометрической задачи из материалов ЕГЭ (задание с развернутым ответом)
Задача. Образующая конуса равна диаметру его основания. В основание конуса вписан правильный треугольник. Через середину высоты конуса и сторону треугольника проведена плоскость .
а) Докажите, что угол между плоскостью основания конуса и плоскостью равен
.
б) Найдите площадь сечения плоскостью a шара, вписанного в конус, если радиус основания конуса равен .
Источник: ЕГЭ 2017. Математика. Профильный уровень. 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2 / И.В.Ященко, М.А.Волчкевич, И.Р.Высоцкий. – М.: Экзамен, 2017. – 215 с.
Дано:
конус с вершиной
, где
— диаметр основания конуса
— правильный треугольник, вписанный в основание конуса
— высота конуса
— середина
плоскость сечения проходит через
и отрезок
в конус вписан шар
Доказательство (пункт а)
Для доказательства того, что угол между плоскостью основания конуса и плоскостью равен
, сделаем дополнительные построения. Построим
— середину
, построим
,
,
,
(рис. 1).
![]() |
![]() |
Рис. 1. | Рис. 2. |
Поскольку образующая конуса равна диаметру, то . Треугольник
— прямоугольный и катет равен половине гипотенузы, значит угол
.
Рассмотрим :
— медиана,
— центр описанной окружности, значит
или
. Т.к.
, то
.
Найдем . В
:
Из теоремы о трех перпендикулярах следует, что , поэтому угол между плоскостью сечения
и плоскостью основания конуса равен
Скачать интерактивную 3D-модель
Примечание. Описание построения интерактивной модели к задаче можно посмотреть здесь.
Решение (пункт б):
Построение
Необходимо вписать шар в конус. Рассмотрим произвольное осевое сечение конуса. Поскольку образующая конуса равна диаметру основания, то в осевом сечении находится равносторонний треугольник. Центр вписанного в конус шара совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник осевого сечения. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис, высота конуса — биссектриса треугольника осевого сечения. Осталось построить еще одну биссектрису, получаем центр вписанного в конус шара. Строим биссектрису
, строим точку
— точку пересечения биссектрисы
и высоты
. Строим сферу с центром в точке
и радиусом
. Получили требуемый чертеж к задаче (рис. 2).
Анализ чертежа показывает, что дальнейшие рассуждения нужно проводить на осевом сечении, проходящем через точку – середину стороны
правильного треугольника, вписанного в основание конуса (рис. 3,4).
![]() |
![]() |
Рис. 3. Осевое сечение, проходящее через точку ![]() |
Рис. 4. Осевое сечение |
Ответим на вопрос задачи – найдем площадь сечения шара. Ясно, что это – круг, поэтому его площадь полностью определяется радиусом.
Скачать интерактивную 2D-модель (плоскость осевого сечения).
Примечание. Описание построения интерактивной модели к задаче можно посмотреть здесь.
Решение
1) Если радиус основания конуса равен , то сторона треугольника
равна
.
2) Радиус вписанной окружности
3)
4) ;
5) катет, лежащий напротив угла в равен половине гипотенузы, значит в треугольнике
:
6) в треугольнике по теореме Пифагора:
7) Искомая площадь сечения