Сложная геометрия ЕГЭ 2025: N4

Задача формата ЕГЭ + подготовительные задачи к ней

Основная задача

Дан остроугольный треугольник ABC. Известно, что $\angle BAC=2\angle ABC$ . Точка O  — центр описанной окружности треугольника ABC. Вокруг треугольника AOC описана окружность, которая пересекает сторону BC в точке P.
а)  Докажите, что треугольники ABC и PAC подобны.
б)  Найдите AB, если BC  =  6 и AC  =  4.

Ответ

б) 5

Теория

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
Вписанный угол равен половине центрального угла, если они опираются на одну и ту же дугу.
Признак подобия треугольников по двум углам.
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
В подобных треугольниках соответственные стороны пропорциональны.

Подготовительная задача 1