Решение неравенств методом интервалов опирается на свойства функций
Сначала про метод интервалов
Рассмотрим пример
Вводим функцию для выражения, сравниваемого с нулем:
Находим промежутки знакопостоянства функции:
Методом пробной точки определяем знак функции на каждом промежутке:
Функция принимает положительные значения, если график функции располагается выше горизонтальной оси координат (y > 0)
Функция принимает отрицательные значения, если график функции располагается ниже горизонтальной оси координат (y < 0)
Далее выписывается ответ:
![\[( \infty;-9) \cup \{3\} \cup (9;+\infty)\]](https://sinpix.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-073a5e22a8084af5063b190347f28b2d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Чтобы сократить выкладки при определении знака методом пробной точки пользуются правилами знакочередования:
— если точка встречается нечетное число раз среди нулей функции и точек разрыва, то знак функции через нее меняется
— если точка встречается четное число раз среди нулей функции и точек разрыва, то знак функции через нее не меняется
А чтобы совсем облегчить работу школьникам учителя придумали ставить в «четной» точке петельку, чтобы все время знаки чередовались.
Почему в «петельке» нельзя ставить знак
Это распространенный методический прием, но запись со знаком в петельке содержит математическую ошибку:
Его можно интерпретировать так: при t = 3 получаем, что y > 0.
Но на самом деле: при t = 3 получаем, что y = 0.
!!! А еще хуже, когда петелька ставится в точке разрыва, в этом случае знак функции для соответствующего значения переменной вообще определить нельзя, т.к. в точке разрыва функция не определена.
А школьники иногда, глядя на знак в петельке, выписывают точку разрыва в ответ, это приводит к еще одной ошибке
До 2025 года на ЕГЭ по математике эксперты не обращали внимание на эту ошибку – не снижали баллы на знак в петельке
Вот пример решения, которое в 2024 году оценено на 2 балла, но оно содержит ошибку – стоит знак в петельке
А в методических материалах по проверке заданий с развернутым ответом ЕГЭ 2025 года приведен пример оценки неравенства, в котором в петельке стоит знак оценкой «0 баллов»
А это значит, что теперь, ошибка – «знак в петельке» будет наказываться очень строго, даже жестоко
Как можно оформлять метод интервалов
Еще один важный аспект: а как можно оформлять решение неравенства на ЕГЭ?
1) В тех же методических материалах для экспертов приводятся примеры решения неравенств, в которых вообще отсутствует графическая интерпретация метода интервалов:
Там же приведены примеры проверенных заданий и оцененных на полный балл, в которых:
2) Есть графическая интерпретация метода интервалов, расставлены знаки, но нет петельки:
3) Есть графическая интерпретация метода интервалов, расставлены знаки и есть как будто бы петелька, знака в ней нет:
Оформляйте решение правильно, не ошибайтесь!