Простым или составным является число 1009?

Был такой случай

При решении задания «Простым или составным является число 1009?» ученик 6 класса написал: «Число 1009 составное, т.к. самое большое простое число 997»

Что такое простые и составные числа?

Простое число — натуральное число, имеющее ровно два различных делителя (единицу и само себя). Например: 2,3,5,7,11,…
Составное число — натуральное число, имеющее более двух делителей. Например, 4,6,8,9,10,12,…
Число 1 не является простым и не является составным (у него один делитель)

Ответ не верный, но его решение мне показалось забавным. Стало понятно, как он рассуждал: он открыл таблицу простых чисел на форзаце учебника по математике за 6 класс, а там самое большое простое число 997. Отсюда и ответ.

Таблица простых чисел на форзаце учебника по математике 6 класса

Это пример использования неполной индукции: если рассмотреть несколько примеров, то нельзя делать общий вывод. Неполная индукция помогает сформулировать предположение (гипотезу), а это предположение необходимо строго обосновать.

Знаменитый пример ошибки неполной индукции – «черный лебедь»

Черный лебедь

Тысячи наблюдений не доказывают, что чего-то нет. Одно единственное наблюдение может перечеркнуть утверждение, выведенное на протяжении тысячелетий наблюдений

Сегодня термин «Черный лебедь» используют для обозначения аномального, всегда неожиданного события, обладающего огромным воздействием и последствиями.

Например, эпидемия COVID-19

Термин в этом смысле ввел Нассим Талеб в своей книге «Черный лебедь. Под знаком непредсказуемости»

Чтобы доказать, что число составное, достаточно найти делитель этого числа, отличающийся от единицы и самого числа. Например, число 123 составное, т.к. оно делится нацело на 3.

Чтобы доказать, что число простое, необходимо показать, что оно не делится нацело на все простые числа, квадрат которых не превосходит данного числа

Например, чтобы доказать, что число 1009 простое, надо показать, что число 1009 не делится на 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31. Это можно сделать с помощью признаков делимости и обычным делением в столбик.

Следующее простое число 37 проверять уже не надо, т.к.

    \[37^2=1369>1009\]

Простых чисел бесконечно много. Доказал это еще Евклид.

Теорема Евклида

Теорема: простых чисел бесконечно много

Доказательство (метод от противного):

Допустим существует лишь конечное число простых чисел

    \[p_1, p_2, ..., p_n\]

и других простых чисел нет.

Рассмотрим число

    \[p_1 \cdot p_2 \cdot  ... \cdot p_n +1\]

При делении на все простые числа p_1, p_2, ..., p_n это число дает остаток 1, значит это число простое. Получили противоречие с предположением, что других простых чисел, кроме p_1, p_2, ..., p_n, нет.

Противоречие возникло в результате неверного предположения, что «существует лишь конечное число простых чисел». Остается верным, что простых чисел бесконечно много.

Что и требовалось доказать

 

 

 

 

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.