Графическое решение задания с параметром

Найти все значения параметра, при каждом из которых система уравнений имеет ровно три различных решения

$\left\{ \begin{aligned} (x&y^2-2xy-8y+16)\cdot\sqrt{8-x}=0,\\ y&=ax.\\ \end{aligned} \right.$

Решение:

Изобразим в системе координат $xOy$ область $x\le8$ , прямые $y=2$ , $x=8$ и гиперболу $y=\frac{8}{x}$ . Будем считать точки пересечения у подвижной прямой $y=ax$ c этими линиями в области $x\le8$

Область изменения параметра $a$ , в которой система уравнений имеет ровно три решения изображена на рисунке:

$A(8;1)\Rightarrow a=\frac{y}{x}=\frac{1}{8}$

$B(8;2)\Rightarrow a=\frac{y}{x}=\frac{1}{4}$

$C(4;2)\Rightarrow a=\frac{y}{x}=\frac{1}{2}$

Ответ: $a\in\left(\frac{1}{8};\frac{1}{4}\right]\cup\left\{\frac{1}{2}\right\}$

Интерактивная модель (ГеоГебра) + анимация в формате mp4

Источник

№18, Вариант 17, стр.130
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2018. Профильный уровень. 40 тренировочных вариантов по демоверсии 2018 года: учебно-методическое пособие / Под ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион, 2017. – 416 с.

Задание для самостоятельного решения

Найти все значения параметра, при каждом из которых система уравнений имеет ровно три различных решения

$\left\{ \begin{aligned} \frac{xy^2-3xy-6y+18}{\sqrt{9-x}}&=0,\\ y&=ax.\\ \end{aligned} \right.$

Ответ: $a\in\left(\frac{1}{3};\frac{3}{2}\right)\cup\left(\frac{3}{2};+\infty\right)$

Источник: Там же, №18, Вариант 18, стр.136

Графическое решение задания с параметром

Добавить комментарий Отменить ответ