ЕГЭ профиль, задача 19: множество чисел назовем хорошим…
Задача #3. Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.
а) является ли множество {100; 101; 102; …; 197; 198; 199} хорошим?
б) является ли множество {2; 4; 8; …; } хорошим?
в) сколько хороших четырехэлементных подмножеств у множества {3; 4; 5; 6; 8; 10; 12}?
Применить идею нахождения суммы натуральных чисел от 1 до 100:
1+2+3+…+98+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=101*50=5050
Фрагмент фильма «Измеряя мир», в котором показано, как Карл Гаусс этим способом в школе быстро посчитал сумму чисел от 1 до 100:
Подсказка (б) - 1 способ
Наибольшее число больше суммы всех остальных чисел:
Для доказательства воспользуйтесь формулой вычисления суммы членов геометрической прогрессии:
Подсказка (б) - 2 способ
— четное — нечетное,
а нечетных элементов во множестве {2; 4; 8; …; } нет
Подсказка (в) - №1
Сумма элементов хорошего множества должна быть четной.
Значит хорошее множество имеет вид:
{н;н;ч;ч} или {ч;ч;ч;ч},
где н — нечетное число, ч — четное число
Подсказка (в) - №2
Хорошее 4-х элементное множество может быть разбито на два подмножества двумя способами:
1)
сумма трех элементов равна четвертому элементу
2)
сумма двух элементов равна сумме двух других элементов
разность двух элементов равна разности двух других элементов
Задача #4. Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.
а) является ли множество {200; 201; 202; …; 297; 298; 299} хорошим?
б) является ли множество {2; 4; 8; …; } хорошим?
в) сколько хороших четырехэлементных подмножеств у множества {1; 2; 4; 5; 7; 9; 11}?