Практическое занятие: метод решения уравнений с модулем |f(x)|=a.
Пример 1. Решить уравнение
.
Решение
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\left|2x-3\right|=1\]](https://sinpix.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5f57fc756da56674020e7aa2ba1ba19a_l3.png)
Модуль равен 1, если выражение под знаком модуля равно 1 или -1:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\begin{bmatrix}2x-3=1,\\2x-3=-1;\]](https://sinpix.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3ad766592714b2091c050dfc452c9d7c_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\begin{bmatrix}2x=4,\\2x=2;\]](https://sinpix.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8b735658dceed653b8bb456057c722c5_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\begin{bmatrix}x=2,\\x=1.\]](https://sinpix.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aae68f31c9de16a3beef642ce64d5518_l3.png)
Пример 2. Решить уравнение
.
Решение
Модуль не может принимать отрицательные значения, поэтому корней нет.
Пример 3. Решить уравнение
.
Ответ

;
Решение
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\left|x^2-x\right|=0\]](https://sinpix.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c498456f0658a549996c2b17c9cacc6b_l3.png)
Модуль равен нулю, если выражение под знаком модуля равно нулю:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[x^2-x=0\]](https://sinpix.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6b1185d3481b216ef1272afe958f4605_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[x(x-1)=0\]](https://sinpix.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a16452d6f09eb9fc93d2c6be17b9832e_l3.png)
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\begin{bmatrix}x=0,\\x-1=0;\]](https://sinpix.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5c89016329a1dd079f373ea08b4b3423_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\begin{bmatrix}x=0,\\x=1.\]](https://sinpix.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-108d7d1a935e13b4d3c50bcd91139d09_l3.png)
Пример 4. Решить уравнение
.
Решение
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\left|\left|x-1\right|-4\right|=3\]](https://sinpix.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c77f6e9c80e4bf14aa6ac0e01db3b708_l3.png)
Модуль равен 3, если выражение под знаком модуля равно 3 или -3:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\begin{bmatrix}\left|x-1\right|-4=3,\\\left|x-1\right|-4=-3;\]](https://sinpix.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3c33320d60ffb7ee05ba16f00b555d4d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\begin{bmatrix}\left|x-1\right|=7,\\\left|x-1\right|=1.\]](https://sinpix.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d61faf583cc0a7e01f376f15f47c4136_l3.png)
Модуль равен 7, если выражение под знаком модуля равно 7 или -7. Поэтому от уравнения
переходим к совокупности (объединению) уравнений:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\begin{bmatrix}x-1=7,\\x-1=-7.\]](https://sinpix.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4f8e8b08cc16702c4342bef2aca19198_l3.png)
Модуль равен 1, если выражение под знаком модуля равно 1 или -1. Поэтому от уравнения
переходим к совокупности (объединению) уравнений:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\begin{bmatrix}x-1=1,\\x-1=-1.\]](https://sinpix.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-82f24dac721b9a956b97bb1061d8e9d0_l3.png)
Получаем общую совокупность уравнений:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\begin{bmatrix}x-1=7,\\x-1=-7,\\x-1=1,\\x-1=-1;\]](https://sinpix.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-15c548fbbebce2138ee77643061c0caa_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\begin{bmatrix}x=8,\\x=-6,\\x=2,\\x=0.\]](https://sinpix.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-62658d39d064982754214168ee6376a6_l3.png)
Пример 5. Решить уравнение
.
Решение
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\left|\left|\left|x-3\right|-3\right|-3\right|=3,\]](https://sinpix.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-112e8c78728749126b6ec069827a0b91_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\begin{bmatrix}\left|\left|x-3\right|-3\right|-3=3,\\\left|\left|x-3\right|-3\right|-3=-3;\]](https://sinpix.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9f98194b99eaf65b7858f26d732b83e8_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\begin{bmatrix}\left|\left|x-3\right|-3\right|=6,\\\left|\left|x-3\right|-3\right|=0;\]](https://sinpix.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-46d963cdd7d71e140097bbacb92039f7_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\begin{bmatrix}\left|x-3\right|-3=6,\\\left|x-3\right|-3=-6,\\\left|x-3\right|-3=0;\]](https://sinpix.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bd1f661b5dedcb71f065149671d166c4_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\begin{bmatrix}\left|x-3\right|=9,\\\left|x-3\right|=-3,\\\left|x-3\right|=3.\]](https://sinpix.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a08d6c70341f462c081082321b5623cc_l3.png)
Уравнение
не имеет корней, так как модуль не может принимать отрицательные значения. Получаем совокупность:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\begin{bmatrix}\left|x-3\right|=9,\\\left|x-3\right|=3;\]](https://sinpix.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6b7ccea3ed563e8d614c8419071de500_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\begin{bmatrix}x-3=9,\\x-3=-9,\\x-3=3,\\x-3=-3;\]](https://sinpix.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-51efb5fbf95e2dfe8767a0919907bdf1_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\begin{bmatrix}x=12,\\x=-6,\\x=6,\\x=0.\]](https://sinpix.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5d699f28febe9bc1f8fa63fefe95681f_l3.png)
Пример 6. Решить уравнение
.
Задания для самостоятельного решения:
1) 
Ответ

;
2) 
3) 
Ответ

;
4) 
5) 
Ответ

;
6) 
Источник: Ершова А.П., Голобородько В.В., Ершова А.С. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 7 класса. – М.: ИЛЕКСА, 2013. – 208 с.