Рациональный счет в заданиях ЕГЭ: квадратное уравнение и теорема Виета

При решении заданий ЕГЭ по математике важно использовать рациональные приемы вычислений. Рассмотрим пример текстовой задачи на движение, которая сводится к решению дробно-рационального уравнения, которое, в свою очередь, приводит к квадратному уравнению

Пример. Из пункта А в пункт В одновременно выехали две дорожные машины. Первая машина проехала с постоянной скоростью весь путь. Вторая проехала первую половину пути со скоростью 39 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью на 26 км/ч большей скорости первой машины, в результате чего в пункт В обе машины прибыли одновременно. Найдите скорость первой машины.

Источник: Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень. 40 тренировочных вариантов по демоверсии 2017 года: учебно-методическое пособие / Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Калабухова. — Ростов-на-Дону: Легион, 2016. — 384 с.
Вариант 21, с.115, №11.

Решение. Обозначим скорость первой машины через $x$ , $S$ — расстояние от пункта А до пункта В. Машины одновременно выехали из пункта А и приехали одновременно в пункт В, значит у них одинаковое время движения, на этой основе и составим уравнение:

$\frac{S}{x}$ — время движения первой машины,

$\frac{\frac{S}{2}}{39}+\frac{\frac{S}{2}}{x+26}=\frac{S}{2\cdot 39}+\frac{S}{2\cdot (x+26)}$ — время движения второй машины,

получаем уравнение:

$\frac{S}{x}=\frac{S}{2\cdot 39}+\frac{S}{2\cdot (x+26)},$

делим обе части уравнения на $S\neq 0$ :

$\frac{1}{x}=\frac{1}{2\cdot 39}+\frac{1}{2\cdot (x+26)},$

$\frac{1}{x}=\frac{x+26+39}{2\cdot 39\cdot (x+26)},$

$\frac{1}{x}=\frac{x+65}{39(2x+52)},$

$39(2x+52)=x(x+65),$

$78x+39\cdot 52=x^2+65x,$

Замечание: рационально не выполнять умножение $39\cdot 52$ .

$x^2-13x-39\cdot 52=0.$

Корни полученного уравнения подбираем с помощью теоремы Виета (алгоритм подбора корней квадратного уравнения с помощью теоремы Виета).
Т.к. $52-39=13$ , то $x_1=52, x_2=-39$ .

Отрицательное значение для скорости не подходит, поэтому ответ: 52 км/ч.

Вывод: не надо торопиться выполнять умножение, правильная запись позволяет найти корни устно с помощью теоремы Виета.

Приведем решение полученного квадратного уравнения «в лоб», по основным формулам:

$x^2-13x-39\cdot 52=0$

$x^2-13x-2028=0$

$D=(-13)^2-4\cdot 1 \cdot (-2028)=169+8112=8281$

Чтобы извлечь корень из дискриминанта вручную необходимо разложить его на простые множители:

$D=8281=7\cdot 7\cdot 13 \cdot 13=7^2\cdot 13^2=91^2.$

Это совсем не тривиальный случай для извлечения квадратного корня вручную (без калькулятора) для большинства школьников. Многие из них дальше этого дискриминанта «не пройдут». Последующие вычисления простые.

Ясно, что применение теоремы, обратной теореме Виета, дает ощутимое вычислительное преимущество.

Рациональный счет в заданиях ЕГЭ: квадратное уравнение и теорема Виета

Добавить комментарий Отменить ответ