Приведем решение стереометрической задачи из материалов ЕГЭ (задание с развернутым ответом)
Задача. Образующая конуса равна диаметру его основания. В основание конуса вписан правильный треугольник. Через середину высоты конуса и сторону треугольника проведена плоскость .
а) Докажите, что угол между плоскостью основания конуса и плоскостью равен .
б) Найдите площадь сечения плоскостью a шара, вписанного в конус, если радиус основания конуса равен .
Источник: ЕГЭ 2017. Математика. Профильный уровень. 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2 / И.В.Ященко, М.А.Волчкевич, И.Р.Высоцкий. – М.: Экзамен, 2017. – 215 с.
Дано:
конус с вершиной
, где — диаметр основания конуса
— правильный треугольник, вписанный в основание конуса
— высота конуса
— середина
плоскость сечения проходит через и отрезок
в конус вписан шар
Доказательство (пункт а)
Для доказательства того, что угол между плоскостью основания конуса и плоскостью равен , сделаем дополнительные построения. Построим — середину , построим , , , (рис. 1).
Рис. 1. | Рис. 2. |
Поскольку образующая конуса равна диаметру, то . Треугольник — прямоугольный и катет равен половине гипотенузы, значит угол .
Рассмотрим : — медиана, — центр описанной окружности, значит или . Т.к. , то .
Найдем . В :
Из теоремы о трех перпендикулярах следует, что , поэтому угол между плоскостью сечения и плоскостью основания конуса равен
Скачать интерактивную 3D-модель
Примечание. Описание построения интерактивной модели к задаче можно посмотреть здесь.
Решение (пункт б):
Построение
Необходимо вписать шар в конус. Рассмотрим произвольное осевое сечение конуса. Поскольку образующая конуса равна диаметру основания, то в осевом сечении находится равносторонний треугольник. Центр вписанного в конус шара совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник осевого сечения. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис, высота конуса — биссектриса треугольника осевого сечения. Осталось построить еще одну биссектрису, получаем центр вписанного в конус шара. Строим биссектрису , строим точку — точку пересечения биссектрисы и высоты . Строим сферу с центром в точке и радиусом . Получили требуемый чертеж к задаче (рис. 2).
Анализ чертежа показывает, что дальнейшие рассуждения нужно проводить на осевом сечении, проходящем через точку – середину стороны правильного треугольника, вписанного в основание конуса (рис. 3,4).
Рис. 3. Осевое сечение, проходящее через точку |
Рис. 4. Осевое сечение |
Ответим на вопрос задачи – найдем площадь сечения шара. Ясно, что это – круг, поэтому его площадь полностью определяется радиусом.
Скачать интерактивную 2D-модель (плоскость осевого сечения).
Примечание. Описание построения интерактивной модели к задаче можно посмотреть здесь.
Решение
1) Если радиус основания конуса равен , то сторона треугольника равна .
2) Радиус вписанной окружности
3)
4) ;
5) катет, лежащий напротив угла в равен половине гипотенузы, значит в треугольнике :
6) в треугольнике по теореме Пифагора:
7) Искомая площадь сечения