Решение задания ЕГЭ с развернутым ответом по стереометрии

Приведем решение стереометрической задачи из материалов ЕГЭ (задание с развернутым ответом)

Задача. Образующая конуса равна диаметру его основания. В основание конуса вписан правильный треугольник. Через середину высоты конуса и сторону треугольника проведена плоскость \alpha.
а) Докажите, что угол между плоскостью основания конуса и плоскостью \alpha равен 60^0.
б) Найдите площадь сечения плоскостью a шара, вписанного в конус, если радиус основания конуса равен 4\sqrt{3}.
Источник: ЕГЭ 2017. Математика. Профильный уровень. 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2 / И.В.Ященко, М.А.Волчкевич, И.Р.Высоцкий. – М.: Экзамен, 2017. – 215 с.

Дано:
конус с вершиной S
SM=BD, где BD — диаметр основания конуса
MKN — правильный треугольник, вписанный в основание конуса
SO — высота конуса
E — середина SO
плоскость сечения \alpha проходит через E и отрезок KN
OM=4\sqrt{3}
в конус вписан шар

Доказательство (пункт а)

Для доказательства того, что угол между плоскостью основания конуса и плоскостью \alpha равен 60^0, сделаем дополнительные построения. Построим F — середину KN, построим MF, EK, EN, EF (рис. 1).

Рис. 1. Рис. 2.

 

Поскольку образующая конуса равна диаметру, то \frac{1}{2}CM=OM. Треугольник SOM — прямоугольный и катет равен половине гипотенузы, значит угол MSO=30^0.

    \[ \cos{\angle MSO}=\cos{30^0}=\frac{SO}{SM}=\frac{2EO}{2R}=\frac{EO}{R}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \]

    \[ EO=\frac{\sqrt{3}R}{2}. \]

Рассмотрим \Delta MNK: MF — медиана, O — центр описанной окружности, значит OM:OF=2:1 или OM=2OF. Т.к. OM=R, то OF=\frac{1}{2}R.
Найдем \angle EFO. В \Delta EFO:

    \[ \tan{\angle EFO}=\frac{EO}{OF}=\frac{\sqrt{3}R}{2}:\frac{R}{2}=\sqrt{3}, \]

    \[ \angle EFO=60^0. \]

Из теоремы о трех перпендикулярах следует, что KN\bot (EOF), поэтому угол между плоскостью сечения \alpha и плоскостью основания конуса равен

    \[ \angle EFO=60^0. \]

Скачать интерактивную 3D-модель
Примечание. Описание построения интерактивной модели к задаче можно посмотреть здесь.

 

Решение (пункт б):
Построение 
Необходимо вписать шар в конус. Рассмотрим произвольное осевое сечение конуса. Поскольку образующая конуса равна диаметру основания, то в осевом сечении находится равносторонний треугольник. Центр вписанного в конус шара совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник осевого сечения. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис, высота конуса SO — биссектриса треугольника осевого сечения. Осталось построить еще одну биссектрису, получаем центр вписанного в конус шара. Строим биссектрису \angle SMO , строим точку O_1 — точку пересечения биссектрисы \angle SMO и высоты SO. Строим сферу с центром в точке O_1 и радиусом O_1O. Получили требуемый чертеж к задаче (рис. 2).

Анализ чертежа показывает, что дальнейшие рассуждения нужно проводить на осевом сечении, проходящем через точку F – середину стороны NK правильного треугольника, вписанного в основание конуса (рис. 3,4).

Рис. 3. Осевое сечение, проходящее
через точку F
Рис. 4. Осевое сечение

 

Ответим на вопрос задачи – найдем площадь сечения шара. Ясно, что это – круг, поэтому его площадь полностью определяется радиусом.

Скачать интерактивную 2D-модель (плоскость осевого сечения).
Примечание. Описание построения интерактивной модели к задаче можно посмотреть здесь.

Решение
1) Если радиус основания конуса равен 4\sqrt{3}, то сторона треугольника SHM равна 8\sqrt{3}.
2) Радиус вписанной окружности

    \[ O_1O=O_1A=\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{8\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{6}=4. \]

3)

    \[ EO_1=EO-O_1O=\frac{\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{3}}{2}-4=6-4=2. \]

4) \angle MSO=\angle CEO_1=30^0;
5) катет, лежащий напротив угла в 30^0 равен половине гипотенузы, значит в треугольнике ECO_1:

    \[ CO_1=\frac{1}{2}EO_1=\frac{1}{2}\cdot 2=1. \]

6) в треугольнике ACO_1 по теореме Пифагора:

    \[ AC=\sqrt{AO_1^2-CO_1^2}=\sqrt{4^2-1^2}=\sqrt{15}. \]

7) Искомая площадь сечения

    \[ S=\pi \cdot AC^2=15\pi. \]

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.