Решение задания ЕГЭ с развернутым ответом по стереометрии

Приведем решение стереометрической задачи из материалов ЕГЭ (задание с развернутым ответом)

Задача. Образующая конуса равна диаметру его основания. В основание конуса вписан правильный треугольник. Через середину высоты конуса и сторону треугольника проведена плоскость $\alpha$ .
а) Докажите, что угол между плоскостью основания конуса и плоскостью $\alpha$ равен $60^0$ .
б) Найдите площадь сечения плоскостью a шара, вписанного в конус, если радиус основания конуса равен $4\sqrt{3}$ .
Источник: ЕГЭ 2017. Математика. Профильный уровень. 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2 / И.В.Ященко, М.А.Волчкевич, И.Р.Высоцкий. – М.: Экзамен, 2017. – 215 с.

Дано:
конус с вершиной $S$
$SM=BD$ , где $BD$ — диаметр основания конуса
$MKN$ — правильный треугольник, вписанный в основание конуса
$SO$ — высота конуса
$E$ — середина $SO$
плоскость сечения $\alpha$ проходит через $E$ и отрезок $KN$
$OM=4\sqrt{3}$
в конус вписан шар

Доказательство (пункт а)

Для доказательства того, что угол между плоскостью основания конуса и плоскостью $\alpha$ равен $60^0$ , сделаем дополнительные построения. Построим $F$ — середину $KN$ , построим $MF$ , $EK$ , $EN$ , $EF$ (рис. 1).


Рис. 1.	Рис. 2.

Поскольку образующая конуса равна диаметру, то $\frac{1}{2}CM=OM$ . Треугольник $SOM$ — прямоугольный и катет равен половине гипотенузы, значит угол $MSO=30^0$ .

$\cos{\angle MSO}=\cos{30^0}=\frac{SO}{SM}=\frac{2EO}{2R}=\frac{EO}{R}=\frac{\sqrt{3}}{2},$

$EO=\frac{\sqrt{3}R}{2}.$

Рассмотрим $\Delta MNK$ : $MF$ — медиана, $O$ — центр описанной окружности, значит $OM:OF=2:1$ или $OM=2OF$ . Т.к. $OM=R$ , то $OF=\frac{1}{2}R$ .
Найдем $\angle EFO$ . В $\Delta EFO$ :

$\tan{\angle EFO}=\frac{EO}{OF}=\frac{\sqrt{3}R}{2}:\frac{R}{2}=\sqrt{3},$

$\angle EFO=60^0.$

Из теоремы о трех перпендикулярах следует, что $KN\bot (EOF)$ , поэтому угол между плоскостью сечения $\alpha$ и плоскостью основания конуса равен

$\angle EFO=60^0.$

Скачать интерактивную 3D-модель
Примечание. Описание построения интерактивной модели к задаче можно посмотреть здесь.

Решение (пункт б):
Построение
Необходимо вписать шар в конус. Рассмотрим произвольное осевое сечение конуса. Поскольку образующая конуса равна диаметру основания, то в осевом сечении находится равносторонний треугольник. Центр вписанного в конус шара совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник осевого сечения. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис, высота конуса $SO$ — биссектриса треугольника осевого сечения. Осталось построить еще одну биссектрису, получаем центр вписанного в конус шара. Строим биссектрису $\angle SMO$ , строим точку $O_1$ — точку пересечения биссектрисы $\angle SMO$ и высоты $SO$ . Строим сферу с центром в точке $O_1$ и радиусом $O_1O$ . Получили требуемый чертеж к задаче (рис. 2).

Анализ чертежа показывает, что дальнейшие рассуждения нужно проводить на осевом сечении, проходящем через точку $F$ – середину стороны $NK$ правильного треугольника, вписанного в основание конуса (рис. 3,4).