Стереометрия в ЕГЭ и задачи на построение в пространстве

Задачи по стереометрии повышенной трудности входят в материалы ЕГЭ по математике профильного уровня. Приведем пример интересной задачи, для которой точное построение чертежа на 3D-полотне программы GeoGebra является задачей на построение в трехмерном пространстве. Кроме того, в задаче используется сложная конструкция — шар вписан в конус, для чего очень полезной оказывается интерактивная 3D-модель.

Среди геометрических задач важное место занимают задачи на построение. Они имеют специальную структуру: анализ, построение, доказательство, исследование. При построении можно использовать циркуль и линейку (без делений) или только линейку. Рассматривают такие задачи на плоскости, потому что материальных инструментов для построения в трехмерном пространстве нет.

С появлением компьютерных инструментов построения, в частности, среды динамической геометрии GeoGebra и других, появляется возможность на 3D-полотне строить геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки — сферу и т.п. Это дает возможность наглядно рассматривать задачи на построение в пространстве.
Приведем пример задачи (из материалов ЕГЭ), построение чертежа к которой можно рассматривать как задачу на построение в пространстве.

 

Задача. Образующая конуса равна диаметру его основания. В основание конуса вписан правильный треугольник. Через середину высоты конуса и сторону треугольника проведена плоскость \alpha.
а) Докажите, что угол между плоскостью основания конуса и плоскостью \alpha равен 60^0.
б) Найдите площадь сечения плоскостью a шара, вписанного в конус, если радиус основания конуса равен 4\sqrt{3}.
Источник: ЕГЭ 2017. Математика. Профильный уровень. 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2 / И.В.Ященко, М.А.Волчкевич, И.Р.Высоцкий. – М.: Экзамен, 2017. – 215 с.

Построение (в виде интерактивной модели)
Содержательной частью построения является сам конус, у которого образующая равна диаметру основания.
Алгоритм построения конуса:
— строим на полотне 2D точку O(0;0);
— строим на полотне 2D точку B\in(Ox);
— строим на полотне 2D окружность с центром точке O и радиусом OB;
— строим на полотне 2D точку D – вторую точку пересечения окружности с осью (Ox);
— строим на полотне 3D сферу с центром в точке B и радиусом BD (инструмент «Сфера по центру и точке»);
— строим на полотне 3D точку S – точку пересечения сферы с вертикальной осью (Oz);
— строим на полотне 3D отрезок SO; отрезок обозначим буквой h (данный шаг построения нужен для того, чтобы воспользоваться инструментом «Выдавить пирамиду или конус»; для его применения указывается основание и в окне диалога вводится высота);
— строим на полотне 3D конус с помощью инструмента «Выдавить пирамиду или конус»; в качестве основания указываем окружность с центром в точке O и радиусом OB; в окне диалога указываем, что высота равна h, т.е. длине отрезка SO.

Результаты построения представлены на рисунке. В данном случае удобно работать параллельно на полотне 2D и на полотне 3D, поэтому они расположены рядом.

Рис. 1.

Конус, у которого образующая равна диаметру основания построен. С точки зрения задачи на построение в пространстве содержательно только построение вершины конуса как пересечения сферы и вертикальной оси координат.
Основное внимание в алгоритме сделано на построение интерактивной модели.
При этом учитывались следующие соображения. Удобно, если высота конуса расположена на вертикальной оси координат. Кроме того, выбран такой способ построения, чтобы конус был динамическим, т.е. можно менять радиус основания. При этом высота остается на вертикальной оси координат, а образующая конуса по-прежнему будет равна диаметру основания.
При перемещении точки B на чертеже меняется конус: его высота остается на вертикальной оси координат, а образующая равна диаметру основания.

Следующий шаг построения чертежа к задаче — в основание конуса вписать правильный треугольник.
Продолжаем построение:
— строим на полотне 2D некоторую точку M на окружности в основании конуса;
— строим на полотне 2D точку N c помощью инструмента «Угол заданной величины», указав последовательно точку M и точку O, в открывшемся окне диалога указываем величину угла 120^0 и направление – по часовой стрелке;
— строим на полотне 2D точку K c помощью инструмента «Угол заданной величины», указав последовательно точку N и точку O, в открывшемся окне диалога указываем величину угла 120^0 и направление – по часовой стрелке;
— строим на полотне 2D отрезки MN, NK, KM (рис. 2).

Рис. 2. Правильный треугольник
в основании конуса
Рис. 3. Сечение конуса
плоскостью \alpha

 

Для построения правильного треугольника, вписанного в основание конуса, использовали то, что его стороны стягивают дуги по 120^0. Положение треугольника можно менять, перемещая точку M. Осталось провести плоскость сечения \alpha через середину высоты конуса и сторону правильного треугольника, вписанного в основание конуса. Построим середину высоты OS — точку E и проведем плоскость через точку E сторону KN (рис. 3).
Для доказательства того, что угол между плоскостью основания конуса и плоскостью \alpha равен 60^0, сделаем дополнительные построения. Построим F — середину KN, построим MF, EK, EN, EF (рис. 4).

Рис. 4. Угол между плоскостью
сечения и плоскостью основания конуса
Рис. 5. Шар, вписанный в конус

 

Скачать интерактивную 3D-модель
Примечание. Доказательство пункта (а) задачи можно посмотреть здесь.

 

б) Найдите площадь сечения плоскостью \alpha шара, вписанного в конус, если радиус основания конуса равен 4\sqrt{3}.

Построение 
Необходимо вписать шар в конус. Рассмотрим произвольное осевое сечение конуса. Поскольку образующая конуса равна диаметру основания, то в осевом сечении находится равносторонний треугольник. Центр вписанного в конус шара совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник осевого сечения. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис, высота конуса SO — биссектриса треугольника осевого сечения. Осталось построить еще одну биссектрису, получаем центр вписанного в конус шара. Строим биссектрису \angle SMO (инструмент «Биссектриса угла»), строим точку O_1 — точку пересечения биссектрисы \angle SMO и высоты SO. Строим сферу с центром в точке O_1 и радиусом O_1O. Получили требуемый чертеж к задаче (рис. 5).

Анализ чертежа показывает (вращение и просмотр в разных проекциях), что дальнейшие рассуждения нужно проводить на осевом сечении, проходящем через точку F – середину стороны NK правильного треугольника, вписанного в основание конуса (рис. 6).

Рис. 6. Осевое сечение, проходящее
через точку F
Рис. 7. Осевое сечение на полотне 2D

 

Ответим на вопрос задачи – найдем площадь сечения шара. Ясно, что это – круг, поэтому его площадь полностью определяется радиусом. Для удобства построим осевое сечение отдельно на полотне 2D (рис. 7).
Опишем алгоритм построения осевого сечения на полотне 2D:
— построим произвольный правильный треугольник (инструмент «Правильный многоугольник»); осевое сечение конуса является правильным треугольником, потому что образующая конуса равна диаметру;
— построим высоту треугольника SO;
— построим середину высоты SO — точку E;
— построим через точку E прямую, параллельную стороне SM, обозначим точку пересечения прямой с основанием HM через F;
— построим биссектрису угла SHM, обозначим точку пересечения высоты SO и биссектрисы через O_1;
— построим окружность с центром в точке O_1 и радиусом O_1O;
— построим точки пересечения окружности с прямой, параллельной стороне треугольникам через A и B;
— построим O_1A (рис. 7).

Скачать интерактивную 2D-модель (плоскость осевого сечения).

 

Примечание. Подробное решение пункта (б) задачи можно посмотреть здесь.

 

 

В заключении приводим flash-ролик, полученный на основе интерактивной 3D-модели (сама интерактивная модель обладает, конечно, большими возможностями повышения наглядности)

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.