Тригонометрическое задание с параметром

Задания с параметрами являются одними из самых сложных заданий ЕГЭ по математике. Рассмотрим пример интересного тригонометрического задания с параметром, для которого приведем наглядную графическую интерпретацию и решение.

Пример.   Найдите наибольшее целое значение a, при котором уравнение

    \[ 3x^2-12x+3a+9=4\sin{\frac{4x-x^2-a-3}{2}}\cos{\frac{x^2-2x-a-1}{2}} \]

имеет ровно два различных решения.
ИсточникЕГЭ 2012. Математика. Типовые тестовые задания / Под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2012. – 95 с.

Сначала построим интерактивную модель с динамическими графиками функций с параметром из данного уравнения (скачать):

С помощью интерактивной модели легко найти ответ: a=0.

 

Для построения графиков функций с параметрами в программе GeoGebra используется несложный прием.

Приведем решение:

Найдите наибольшее целое значение a, при котором уравнение

    \[ 3x^2-12x+3a+9=4\sin{\frac{4x-x^2-a-3}{2}}\cos{\frac{x^2-2x-a-1}{2}} \]

имеет ровно два различных решения.

Преобразуем исходное выражение:

    \[ 3(x^2-4x+a+3)=-4\sin{\frac{x^2-4x+3+a}{2}}\cos{\frac{x^2-2x-a-1}{2}} \]

Пусть t=x^2-3x+1, тогда

    \[ 3(t-x+2+a)=-4\sin{\frac{t-x+2+a}{2}}\cos{\frac{t+x-2-a}{2}}. \]

Пусть b=x-2-a, тогда

    \[ 3(t-b)=-4\sin{\frac{t-b}{2}}\cos{\frac{t+b}{2}}, \]

    \[ 3(t-b)=-4\cdot\frac{\sin{t}-\sin{b}}{2}, \]

    \[ 3t-3b=-2\sin{t}+2\sin{b}, \]

    \[ 3t+2\sin{t}=3b+2\sin{b}. \]

Введем функцию f(z)=3z+2sin(z), тогда последнее равенство примет вид:

    \[ f(t)=f(b). \]

Вычислим производную:

    \[ f'(z)=3+2\cos{z}. \]

Поскольку

    \[ -2\leq2\cos{z}\leq2, \]

    \[ 1\leq3+2\cos{z}\leq5, \]

то f'(z)\geq0. Таким образом, функция f(z) монотонно возрастает, а значит из равенства f(t)=f(b) следует, что t=b:

    \[ x^2-3x+1=x-2-a, \]

    \[ x^2-4x+3=-a. \]

Построим графики функций y=x^2-4x+3 и y=-a:

По чертежу можно сделать однозначный вывод, что при a=1 уравнение имеет один корень, при a>1 уравнение не имеет решений, при a<1 уравнение имеет два решения. Таким образом, наименьшее целое значение параметра, при котором исходное уравнение имеет два решения равно нулю.

Ответ: a=0

Комментарии 1

  • Отличное объяснение решение тригонометрической задача с параметрами, на ЕГЭ 2019 у Ященко очень много задач такого типа!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.