Задания с параметрами являются одними из самых сложных заданий ЕГЭ по математике. Рассмотрим пример интересного тригонометрического задания с параметром, для которого приведем наглядную графическую интерпретацию и решение.
Пример. Найдите наибольшее целое значение , при котором уравнение
имеет ровно два различных решения.
Источник: ЕГЭ 2012. Математика. Типовые тестовые задания / Под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2012. – 95 с.
Сначала построим интерактивную модель с динамическими графиками функций с параметром из данного уравнения (скачать):
С помощью интерактивной модели легко найти ответ: .
Для построения графиков функций с параметрами в программе GeoGebra используется несложный прием.
Приведем решение:
Найдите наибольшее целое значение , при котором уравнение
имеет ровно два различных решения.
Преобразуем исходное выражение:
Пусть , тогда
Пусть , тогда
Введем функцию , тогда последнее равенство примет вид:
Вычислим производную:
Поскольку
то . Таким образом, функция
монотонно возрастает, а значит из равенства
следует, что
:
Построим графики функций и
:
По чертежу можно сделать однозначный вывод, что при уравнение имеет один корень, при
уравнение не имеет решений, при
уравнение имеет два решения. Таким образом, наименьшее целое значение параметра, при котором исходное уравнение имеет два решения равно нулю.
Ответ:
Отличное объяснение решение тригонометрической задача с параметрами, на ЕГЭ 2019 у Ященко очень много задач такого типа!