Тригонометрическое задание с параметром

Задания с параметрами являются одними из самых сложных заданий ЕГЭ по математике. Рассмотрим пример интересного тригонометрического задания с параметром, для которого приведем наглядную графическую интерпретацию и решение.

Пример. Найдите наибольшее целое значение $a$ , при котором уравнение

$3x^2-12x+3a+9=4\sin{\frac{4x-x^2-a-3}{2}}\cos{\frac{x^2-2x-a-1}{2}}$

имеет ровно два различных решения.
Источник: ЕГЭ 2012. Математика. Типовые тестовые задания / Под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2012. – 95 с.

Сначала построим интерактивную модель с динамическими графиками функций с параметром из данного уравнения (скачать):

С помощью интерактивной модели легко найти ответ: $a=0$ .

Для построения графиков функций с параметрами в программе GeoGebra используется несложный прием.

Приведем решение:

Найдите наибольшее целое значение $a$ , при котором уравнение

$3x^2-12x+3a+9=4\sin{\frac{4x-x^2-a-3}{2}}\cos{\frac{x^2-2x-a-1}{2}}$

имеет ровно два различных решения.

Преобразуем исходное выражение:

$3(x^2-4x+a+3)=-4\sin{\frac{x^2-4x+3+a}{2}}\cos{\frac{x^2-2x-a-1}{2}}$

Пусть $t=x^2-3x+1$ , тогда

$3(t-x+2+a)=-4\sin{\frac{t-x+2+a}{2}}\cos{\frac{t+x-2-a}{2}}.$

Пусть $b=x-2-a$ , тогда

$3(t-b)=-4\sin{\frac{t-b}{2}}\cos{\frac{t+b}{2}},$

$3(t-b)=-4\cdot\frac{\sin{t}-\sin{b}}{2},$

$3t-3b=-2\sin{t}+2\sin{b},$

$3t+2\sin{t}=3b+2\sin{b}.$

Введем функцию $f(z)=3z+2sin(z)$ , тогда последнее равенство примет вид:

$f(t)=f(b).$

Вычислим производную:

$f'(z)=3+2\cos{z}.$

Поскольку

$-2\leq2\cos{z}\leq2,$

$1\leq3+2\cos{z}\leq5,$

то $f'(z)\geq0$ . Таким образом, функция $f(z)$ монотонно возрастает, а значит из равенства $f(t)=f(b)$ следует, что $t=b$ :

$x^2-3x+1=x-2-a,$

$x^2-4x+3=-a.$

Построим графики функций $y=x^2-4x+3$ и $y=-a$ :

По чертежу можно сделать однозначный вывод, что при $a=1$ уравнение имеет один корень, при $a>1$ уравнение не имеет решений, при $a<1$ уравнение имеет два решения. Таким образом, наименьшее целое значение параметра, при котором исходное уравнение имеет два решения равно нулю.

Ответ: $a=0$

Комментарии 1

Владимир

17.11.2018 в 20:09

Отличное объяснение решение тригонометрической задача с параметрами, на ЕГЭ 2019 у Ященко очень много задач такого типа!

Ответить

Добавить комментарий Отменить ответ

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте, как обрабатываются ваши данные комментариев.