Свойство площади треугольника

Площадь треугольника не зависит от положения вершины, если основание и высота треугольника не меняются.

Это утверждение можно наглядно проиллюстрировать в программе динамической геометрии GeoGebra — сделать интерактивную модель (скачать).

Учащимся можно предложить самостоятельно подготовить интерактивную модель для иллюстрации этого свойства:
1) Построить произвольную точку С (лучше в узле сетки).
2) Провести через точку С прямую k, параллельную горизонтальной оси координат.
3) Построить точку В на прямой k (лучше в узле сетки).
4) Построить произвольную точку Т (лучше в узле сетки).
5) Построить прямую g через точку Т параллельно прямой k.
6) Построить точку А на прямой g.
7) Построить треугольник АВС (инструмент Многоугольник).
8) Построить высоту АН, изобразить прямой угол.
9) В строке ввода ввести переменную S=1/2*a*h, где а – длина отрезка ВС, h – длина высоты AH.

Наглядная иллюстрация этого свойства площади треугольника помогает решить следующую интересную задачу

Задача. Через точку D, лежащую на стороне ВС треугольника АВС, проведены прямые, параллельные двум другим сторонам  и пересекающие стороны АВ и АС соответственно в точках Е и F. Докажите, что треугольники CDE и BDF имеют равные площади
(№510, Геометрия, 7-9: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2002. – 384 с.)

Сначала целесообразно подготовить чертеж к задаче в программе GeoGebra (скачать интерактивную модель): 

Подсказка: для отображения площадей треугольников CDE и BDF необходимо построить их с помощью инструмента Многоугольник.

Для поиска идеи доказательства в приведенной задаче предлагается доработать динамический чертеж:
— построить точку  на стороне , построить многоугольник ; перемещая точку   убедиться, что площади треугольников  и равны;
— построить точку  на стороне , построить многоугольник ; перемещая точку   убедиться, что площади треугольников  и равны;
— расположить точки и так, так, чтобы стало очевидным равенство

Доказательство становится очевидным:
1)
2)
Последние площади в (1) и (2) совпадают, значит