Свойство площади треугольника

Площадь треугольника не зависит от положения вершины, если основание и высота треугольника не меняются.

Это утверждение можно наглядно проиллюстрировать в программе динамической геометрии GeoGebra — сделать интерактивную модель (скачать).

Учащимся можно предложить самостоятельно подготовить интерактивную модель для иллюстрации этого свойства:
1) Построить произвольную точку С (лучше в узле сетки).
2) Провести через точку С прямую k, параллельную горизонтальной оси координат.
3) Построить точку В на прямой k (лучше в узле сетки).
4) Построить произвольную точку Т (лучше в узле сетки).
5) Построить прямую g через точку Т параллельно прямой k.
6) Построить точку А на прямой g.
7) Построить треугольник АВС (инструмент Многоугольник).
8) Построить высоту АН, изобразить прямой угол.
9) В строке ввода ввести переменную S=1/2*a*h, где а – длина отрезка ВС, h – длина высоты AH.

Наглядная иллюстрация этого свойства площади треугольника помогает решить следующую интересную задачу

 

Задача. Через точку D, лежащую на стороне ВС треугольника АВС, проведены прямые, параллельные двум другим сторонам  и пересекающие стороны АВ и АС соответственно в точках Е и F. Докажите, что треугольники CDE и BDF имеют равные площади
(№510, Геометрия, 7-9: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2002. – 384 с.)

Сначала целесообразно подготовить чертеж к задаче в программе GeoGebra (скачать интерактивную модель): 

Подсказка: для отображения площадей треугольников CDE и BDF необходимо построить их с помощью инструмента Многоугольник.

Для поиска идеи доказательства в приведенной задаче предлагается доработать динамический чертеж:
— построить точку B_1 на стороне AB, построить многоугольник B_1DF; перемещая точку  B_1 убедиться, что площади треугольников B_1DF и BDF равны;
— построить точку C_1 на стороне AC, построить многоугольник C_1ED; перемещая точку  C_1 убедиться, что площади треугольников C_1ED и CED равны;
— расположить точки B_1 и C_1 так, так, чтобы стало очевидным равенство

    \[ S_{B_1DF}=S_{C_1ED} \]

 

Доказательство становится очевидным:
1) S_{BDF}=S_{B_1DF}=S_{EDF}
2) S_{CDE}=S_{C_1DE}=S_{FDE}
Последние площади в (1) и (2) совпадают, значит S_{BDF}=S_{CDE}

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.