Алгоритм применения теоремы Виета для подбора корней приведенного квадратного уравнения

 

 
Содержание видеоролика:

У приведенного квадратного уравнения произведение корней равно свободному члену, а их сумма равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком

Теорема Виета чаще всего используется, чтобы устно или полуустно подобрать целые корни квадратного уравнения у которого коэффициент перед x^2 равен единице, т.е. у приведенного квадратного уравнения.

Рассмотрим алгоритм подбора корней на примерах

Пример 1. x^2+11x+30=0

Сначала записываем условия:

— произведение корней равно свободному члену, т.е.

    \[x_1 \cdot x_2=30\]

— сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, т.е.

    \[x_1 + x_2 = -11\]

Такую запись делать очень полезно, особенно если небольшой опыт применения теоремы Виета.

Если не получается быстро подобрать корни, то поступаем следующим образом.

Записываем свободный член и находим все варианты его разложения на 2 множителя:

    \[30=\]

Любое число делится на 1, поэтому можно записать

    \[30=1 \cdot 30\]

Следующий возможный делитель 2. Да, 30 делится на 2 и получаем

    \[30=1 \cdot 30=2 \cdot 15\]

Следующий возможный делитель 3. Да, 30 делится на 3 и получаем

    \[30=1 \cdot 30=2 \cdot 15=3 \cdot 10\]

Следующий возможный делитель 4, но 30 не делится на 4, поэтому переходим к следующему числу — это 5. 30 делится на 5, получаем

    \[30=1 \cdot 30=2 \cdot 15=3 \cdot 10=5 \cdot 6\]

Следующий возможный делитель 6, но он дает разложение 6 \cdot 5, а мы его уже выписывали. Т.е. дальше будут те же множители, но в обратном порядке

    \[6 \cdot 5 = 10 \cdot 3 = 15 \cdot 2 = 30 \cdot 1\]

Новых вариантов для корней уравнения они нам не дадут, значит рассматривать и выписывать их не надо.

Записанные пары множителей — это претенденты на целые корни уравнения.

Свободный член 30 имеет знак «плюс» — он положительный. Это значит, что корни уравнения имеют одинаковые знаки — оба положительные или оба отрицательные.

Чтобы найти сумму корней одного одного знака их модули складывают.

Складываем записанные множители:

Сумма корней по модулю совпала с вариантом 5+6=11

Чтобы получить -11, достаточно поменять знаки — все умножить на (-1)

    \[-5-6=-11\]

Т.е. x_1=-5, x_2=-6.

Теорема Виета помогает практически устно найти целые корни приведенного квадратного уравнения. Применяя ее легко ошибиться, хотя бы со знаками корней, поэтому очень полезно сделать проверку — взять наиболее простой подобранный корень и подставить в уравнение, т.е. проверить хотя бы один корень.

Это важное замечание и настоятельная рекомендация, ведь главное — правильно решить, а не быстро.

Получаем

    \[(-5)^2+11 \cdot (-5)+30 \]

    \[25-55+30=0\]

Последнее равенство верно. Итак, ответ: x=-5, x=-6

Пример 2. x^2-3x-28=0

Записываем условия теоремы

Свободный член раскладываем на 2 множителя:

    \[28 = 1 \cdot 28 = 2 \cdot 14 = 4 \cdot 7\]

Свободный член отрицательный, т.е. корни разных знаков, при их сложении модули вычитаются.

Знак свободного члена говорит как проверять сумму корней — вычитать или складывать.

Знак свободного члена «минус», значит претенденты на корни — записанные множители вычитаем:

Сумма корней равна 3, значит нам подходит случай 7-4=3 и корни x=7, x=-4

Если бы получилось -3, например, 4-7=-3, то просто все умножили бы на (-1) и получили -4+7=3

На всякий случай проверим один из корней, например, x=7

    \[7^2-3 \cdot 7 -28\]

    \[49-21-28=0\]

Последнее равенство верно, значит ответ x=7,x=-4

В заключении укажем еще одно наблюдение.

Разность корней равна 3 или -3. Знак второго коэффициента (в нашем примере — «минус») будет у меньшего множителя, т.е. корни -4;7.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте, как обрабатываются ваши данные комментариев.