Алгоритм применения теоремы Виета для подбора корней приведенного квадратного уравнения

Содержание видеоролика:

У приведенного квадратного уравнения произведение корней равно свободному члену, а их сумма равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком

Теорема Виета чаще всего используется, чтобы устно или полуустно подобрать целые корни квадратного уравнения у которого коэффициент перед $x^2$ равен единице, т.е. у приведенного квадратного уравнения.

Рассмотрим алгоритм подбора корней на примерах

Пример 1. $x^2+11x+30=0$

Сначала записываем условия:

— произведение корней равно свободному члену, т.е.

$x_1 \cdot x_2=30$

— сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, т.е.

$x_1 + x_2 = -11$

Такую запись делать очень полезно, особенно если небольшой опыт применения теоремы Виета.

Если не получается быстро подобрать корни, то поступаем следующим образом.

Записываем свободный член и находим все варианты его разложения на 2 множителя:

$30=$

Любое число делится на 1, поэтому можно записать

$30=1 \cdot 30$

Следующий возможный делитель 2. Да, 30 делится на 2 и получаем

$30=1 \cdot 30=2 \cdot 15$

Следующий возможный делитель 3. Да, 30 делится на 3 и получаем

$30=1 \cdot 30=2 \cdot 15=3 \cdot 10$

Следующий возможный делитель 4, но 30 не делится на 4, поэтому переходим к следующему числу — это 5. 30 делится на 5, получаем

$30=1 \cdot 30=2 \cdot 15=3 \cdot 10=5 \cdot 6$

Следующий возможный делитель 6, но он дает разложение $6 \cdot 5$ , а мы его уже выписывали. Т.е. дальше будут те же множители, но в обратном порядке

$6 \cdot 5 = 10 \cdot 3 = 15 \cdot 2 = 30 \cdot 1$

Новых вариантов для корней уравнения они нам не дадут, значит рассматривать и выписывать их не надо.

Записанные пары множителей — это претенденты на целые корни уравнения.

Свободный член 30 имеет знак «плюс» — он положительный. Это значит, что корни уравнения имеют одинаковые знаки — оба положительные или оба отрицательные.

Чтобы найти сумму корней одного одного знака их модули складывают.

Складываем записанные множители:

Сумма корней по модулю совпала с вариантом $5+6=11$

Чтобы получить $-11$ , достаточно поменять знаки — все умножить на $(-1)$

$-5-6=-11$

Т.е. $x_1=-5, x_2=-6.$

Теорема Виета помогает практически устно найти целые корни приведенного квадратного уравнения. Применяя ее легко ошибиться, хотя бы со знаками корней, поэтому очень полезно сделать проверку — взять наиболее простой подобранный корень и подставить в уравнение, т.е. проверить хотя бы один корень.

Это важное замечание и настоятельная рекомендация, ведь главное — правильно решить, а не быстро.

Получаем

$(-5)^2+11 \cdot (-5)+30$