Содержание видеоролика:
У приведенного квадратного уравнения произведение корней равно свободному члену, а их сумма равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком
Теорема Виета чаще всего используется, чтобы устно или полуустно подобрать целые корни квадратного уравнения у которого коэффициент перед равен единице, т.е. у приведенного квадратного уравнения.
Рассмотрим алгоритм подбора корней на примерах
Пример 1.
Сначала записываем условия:
— произведение корней равно свободному члену, т.е.
— сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, т.е.
Такую запись делать очень полезно, особенно если небольшой опыт применения теоремы Виета.
Если не получается быстро подобрать корни, то поступаем следующим образом.
Записываем свободный член и находим все варианты его разложения на 2 множителя:
Любое число делится на 1, поэтому можно записать
Следующий возможный делитель 2. Да, 30 делится на 2 и получаем
Следующий возможный делитель 3. Да, 30 делится на 3 и получаем
Следующий возможный делитель 4, но 30 не делится на 4, поэтому переходим к следующему числу — это 5. 30 делится на 5, получаем
Следующий возможный делитель 6, но он дает разложение , а мы его уже выписывали. Т.е. дальше будут те же множители, но в обратном порядке
Новых вариантов для корней уравнения они нам не дадут, значит рассматривать и выписывать их не надо.
Записанные пары множителей — это претенденты на целые корни уравнения.
Свободный член 30 имеет знак «плюс» — он положительный. Это значит, что корни уравнения имеют одинаковые знаки — оба положительные или оба отрицательные.
Чтобы найти сумму корней одного одного знака их модули складывают.
Складываем записанные множители:
Сумма корней по модулю совпала с вариантом
Чтобы получить , достаточно поменять знаки — все умножить на
Т.е.
Теорема Виета помогает практически устно найти целые корни приведенного квадратного уравнения. Применяя ее легко ошибиться, хотя бы со знаками корней, поэтому очень полезно сделать проверку — взять наиболее простой подобранный корень и подставить в уравнение, т.е. проверить хотя бы один корень.
Это важное замечание и настоятельная рекомендация, ведь главное — правильно решить, а не быстро.
Получаем
Последнее равенство верно. Итак, ответ:
Пример 2.
Записываем условия теоремы
Свободный член раскладываем на 2 множителя:
Свободный член отрицательный, т.е. корни разных знаков, при их сложении модули вычитаются.
Знак свободного члена говорит как проверять сумму корней — вычитать или складывать.
Знак свободного члена «минус», значит претенденты на корни — записанные множители вычитаем:
Сумма корней равна 3, значит нам подходит случай и корни
Если бы получилось , например,
, то просто все умножили бы на
и получили
На всякий случай проверим один из корней, например,
Последнее равенство верно, значит ответ
В заключении укажем еще одно наблюдение.
Разность корней равна 3 или -3. Знак второго коэффициента (в нашем примере — «минус») будет у меньшего множителя, т.е. корни