Одна задача на движение

Эта задача опубликована в журнале Квант (№2, 2001 год, стр.47, задача №7), а также в варианте №300 Ларина А.А. (2020 год)

Условие

Из города в деревню одновременно отправились бегун Б и пешеход П1,а в этот же момент из деревни в город вышел второй пешеход П2. Скорости пешеходов равны. Встретившись, Б и П2 простояли некоторое время, а затем направились в деревню. При этом Б побежал с прежней скоростью 12 км/ч, а П2 уменьшил свою скорость в полтора раза. В результате в деревню сначала прибежал Б, а затем через промежуток времени, в два раза больший длительности встречи Б и П2, одновременно пришли оба пешехода. Найдите скорость пешехода П1.

Ответ
6 км/ч
Подсказка
Ввести переменные
x — скорость пешехода П1,
S — расстояние от города до деревни,
t — время, которое Б и П2 простояли.

Найти общее время движения пешехода П1 двумя способами и приравнять, из уравнения выразить t.

Найти время движения пешехода П2 после поворота от места встречи с бегуном до деревни двумя способами и приравнять, из уравнения выразить t.

Приравнять два выражения для t, все сократить на S и решить полученное уравнение относительно x.

Решение
Пусть x (км/ч) — скорость движения пешехода П1,
S (км) — расстояние от города до деревни,
t (ч) — время, которое простояли бегун и пешеход П2, когда встретились.

Тогда:
\frac{S}{x+12} (ч) — время от начала движения до встречи бегуна и пешехода П2;
\frac{Sx}{x+12} (км) — расстояние от деревни до места встречи бегуна и пешехода П2;
x:\frac{3}{2}=\frac{2}{3}x (км/ч) — скорость пешехода П2 после того, как он уменьшил скорость;
\frac{Sx}{x+12}:\frac{2}{3}x=\frac{3S}{2(x+12)} (ч) — время движения пешехода П2 после встречи с бегуном;
\frac{S}{x} (ч) — общее время движения пешехода П1;
\frac{S}{x+12}+t+\frac{3S}{2(x+12)} (ч) — общее время движения пешехода П1.

Получаем уравнение:

    \[\frac{S}{x}=\frac{S}{x+12}+t+\frac{3S}{2(x+12)}\]

Выражаем из этого уравнения t:

(1)   \begin{equation*} t=\frac{S}{x}-\frac{S}{x+12}-\frac{3S}{2(x+12)}\end{equation*}

Рассуждаем далее:

\frac{Sx}{12(x+12)} (ч) — время движения бегуна от места встречи с пешеходом П2 до деревни;
\frac{Sx}{12(x+12)}+2t (ч) — время движения пешехода П2 после встречи с бегуном, которое с другой стороны равно \frac{3S}{2(x+12)}. Получаем уравнение:

    \[\frac{3S}{2(x+12)}=\frac{Sx}{12(x+12)}+2t\]

Выражаем из этого уравнения t:

(2)   \begin{equation*} t=\frac{3S}{4(x+12)}-\frac{Sx}{24(x+12)}\end{equation*}

Из (1) и (2) получаем:

    \[\frac{S}{x}-\frac{S}{x+12}-\frac{3S}{2(x+12)}=\frac{3S}{4(x+12)}-\frac{Sx}{24(x+12)}\]

Разделим обе части уравнения на S, приведем к общему знаменателю 24x(x+12) и приравняем числитель к нулю:

    \[24(x+12)-24x-36x-18x+x^2=0\]


    \[x^2-54x+12\cdot24=0\]


    \[x=6,x=48\]

Так как x — скорость пешехода, то x=6 км/ч

Ссылки
1. Задача опубликована в №2 журнала «Квант» за 2001 год, как одна из задач, предлагаемых на вступительных экзаменах по математике на факультет наук о материалах МГУ, стр.47.
2. Задача включена в вариант №300 Ларина А.А. на месте задачи №11.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.