ЕГЭ профиль, задача 19: множество чисел назовем хорошим…

Задача #3. Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.
а) является ли множество {100; 101; 102; …; 197; 198; 199} хорошим?
б) является ли множество {2; 4; 8; …; $2^{200}$ } хорошим?
в) сколько хороших четырехэлементных подмножеств у множества {3; 4; 5; 6; 8; 10; 12}?

Видеоролик с объяснением решения:

Разбор решения: https://ege.sdamgia.ru/test?pid=513611

Подсказка (а)

Применить идею нахождения суммы натуральных чисел от 1 до 100:
1+2+3+…+98+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=101*50=5050

Фрагмент фильма «Измеряя мир», в котором показано, как Карл Гаусс этим способом в школе быстро посчитал сумму чисел от 1 до 100:

Подсказка (б) - 1 способ

Наибольшее число больше суммы всех остальных чисел: $2^{100}>2+4+8+...+2^{99}$
Для доказательства воспользуйтесь формулой вычисления суммы членов геометрической прогрессии: $S_n=b_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1}$

Подсказка (б) - 2 способ

$S=2+4+8+...+2^{100}$ — четное
$\frac{S}{2}=1+2+4+...+2^{99}$ — нечетное,
а нечетных элементов во множестве {2; 4; 8; …; $2^{200}$ } нет

Подсказка (в) - №1

Сумма элементов хорошего множества должна быть четной.
Значит хорошее множество имеет вид:
{н;н;ч;ч} или {ч;ч;ч;ч},
где н — нечетное число, ч — четное число

Подсказка (в) - №2

Хорошее 4-х элементное множество может быть разбито на два подмножества двумя способами:

1) $a+b+c=d$
сумма трех элементов равна четвертому элементу

2) $a+b=c+d \Leftrightarrow a-c=d-b$
сумма двух элементов равна сумме двух других элементов
разность двух элементов равна разности двух других элементов

Задача #4. Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.
а) является ли множество {200; 201; 202; …; 297; 298; 299} хорошим?
б) является ли множество {2; 4; 8; …; $2^{100}$ } хорошим?
в) сколько хороших четырехэлементных подмножеств у множества {1; 2; 4; 5; 7; 9; 11}?

Видеоролик с объяснением решения:

ЕГЭ профиль, задача 19: множество чисел назовем хорошим…

Добавить комментарий Отменить ответ