Уравнения с модулем (7 класс): урок 1

Практическое занятие: метод решения уравнений с модулем |f(x)|=a.

Пример 1. Решить уравнение $\left|2x-3\right|=1$ .

Ответ

$x=1; x=2$

Решение

$\left|2x-3\right|=1$

Модуль равен 1, если выражение под знаком модуля равно 1 или -1:

$\begin{bmatrix}2x-3=1,\\2x-3=-1;$

$\begin{bmatrix}2x=4,\\2x=2;$

$\begin{bmatrix}x=2,\\x=1.$

Пример 2. Решить уравнение $\left|1001x+14\right|=-1$ .

Ответ

нет корней

Решение

Модуль не может принимать отрицательные значения, поэтому корней нет.

Пример 3. Решить уравнение $\left|x^2-x\right|=0$ .

Ответ

$x=0$ ; $x=1$

Решение

$\left|x^2-x\right|=0$

Модуль равен нулю, если выражение под знаком модуля равно нулю:

$x^2-x=0$

$x(x-1)=0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

$\begin{bmatrix}x=0,\\x-1=0;$

$\begin{bmatrix}x=0,\\x=1.$

Пример 4. Решить уравнение $\left|\left|x-1\right|-4\right|=3$ .

Ответ

$x=-6$ ; $x=0$ ; $x=2$ ; $x=8$

Решение

$\left|\left|x-1\right|-4\right|=3$

Модуль равен 3, если выражение под знаком модуля равно 3 или -3:

$\begin{bmatrix}\left|x-1\right|-4=3,\\\left|x-1\right|-4=-3;$

$\begin{bmatrix}\left|x-1\right|=7,\\\left|x-1\right|=1.$

Модуль равен 7, если выражение под знаком модуля равно 7 или -7. Поэтому от уравнения $\left|x-1\right|=7$ переходим к совокупности (объединению) уравнений:

$\begin{bmatrix}x-1=7,\\x-1=-7.$

Модуль равен 1, если выражение под знаком модуля равно 1 или -1. Поэтому от уравнения $\left|x-1\right|=1$ переходим к совокупности (объединению) уравнений:

$\begin{bmatrix}x-1=1,\\x-1=-1.$

Получаем общую совокупность уравнений:

$\begin{bmatrix}x-1=7,\\x-1=-7,\\x-1=1,\\x-1=-1;$

$\begin{bmatrix}x=8,\\x=-6,\\x=2,\\x=0.$

Ответ

$x=-6$ ; $x=0$ ; $x=6$ ; $x=12$

Решение

$\begin{bmatrix}\left|\left|x-3\right|-3\right|-3=3,\\\left|\left|x-3\right|-3\right|-3=-3;$

$\begin{bmatrix}\left|\left|x-3\right|-3\right|=6,\\\left|\left|x-3\right|-3\right|=0;$

$\begin{bmatrix}\left|x-3\right|-3=6,\\\left|x-3\right|-3=-6,\\\left|x-3\right|-3=0;$

$\begin{bmatrix}\left|x-3\right|=9,\\\left|x-3\right|=-3,\\\left|x-3\right|=3.$

Уравнение $\left|x-3\right|=-3$ не имеет корней, так как модуль не может принимать отрицательные значения. Получаем совокупность:

$\begin{bmatrix}\left|x-3\right|=9,\\\left|x-3\right|=3;$

$\begin{bmatrix}x-3=9,\\x-3=-9,\\x-3=3,\\x-3=-3;$

$\begin{bmatrix}x=12,\\x=-6,\\x=6,\\x=0.$

Пример 6. Решить уравнение $\left|8-\left|x+2\right|\right|=7$ .

Ответ

$x=-17$ ; $x=-3$ ; $x=-1$ ; $x=13$

Решение

$\left|8-\left|x+2\right|\right|=7,$

$\begin{bmatrix}8-\left|x+2\right|=7,\\8-\left|x+2\right|=-7;$

$\begin{bmatrix}-\left|x+2\right|=-1,\\-\left|x+2\right|=-15;$

$\begin{bmatrix}\left|x+2\right|=1,\\\left|x+2\right|=15;$

$\begin{bmatrix}x+2=1,\\x+2=-1,\\x+2=15,\\x+2=-15;$

$\begin{bmatrix}x=-1,\\x=-3,\\x=13,\\x=-17.$

Задания для самостоятельного решения:

1) $\left|3x+2\right|=4$

Ответ

$x=-2$ ; $x=\frac23$

2) $\left|125x-34\right|=-2$

Ответ

нет корней

3) $\left|x^2+x\right|=0$

Ответ

$x=-1$ ; $x=0$

4) $\left|\left|x+3\right|-4\right|=1$

Ответ

$x=-8$ ; $x=-6$ ; $x=0$ ; $x=2$

Ответ

$x=0$ ; $x=6$

6) $\left|10-\left|x-1\right|\right|=8$

Ответ

$x=-17$ ; $x=-1$ ; $x=3$ ; $x=19$

Источник: Ершова А.П., Голобородько В.В., Ершова А.С. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 7 класса. – М.: ИЛЕКСА, 2013. – 208 с.

Уравнения с модулем (7 класс): урок 1

Добавить комментарий Отменить ответ