Уравнения с модулем (7 класс): урок 1

Практическое занятие: метод решения уравнений с модулем |f(x)|=a.

Пример 1. Решить уравнение \left|2x-3\right|=1.

Ответ
x=1; x=2
Решение

    \[\left|2x-3\right|=1\]

Модуль равен 1, если выражение под знаком модуля равно 1 или -1:

    \[\begin{bmatrix}2x-3=1,\\2x-3=-1;\]

    \[\begin{bmatrix}2x=4,\\2x=2;\]

    \[\begin{bmatrix}x=2,\\x=1.\]

 

Пример 2. Решить уравнение \left|1001x+14\right|=-1.

Ответ
нет корней
Решение

Модуль не может принимать отрицательные значения, поэтому корней нет.

Пример 3. Решить уравнение \left|x^2-x\right|=0.

Ответ
x=0; x=1 
Решение

    \[\left|x^2-x\right|=0\]

Модуль равен нулю, если выражение под знаком модуля равно нулю:

    \[x^2-x=0\]

    \[x(x-1)=0\]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

    \[\begin{bmatrix}x=0,\\x-1=0;\]

    \[\begin{bmatrix}x=0,\\x=1.\]

Пример 4. Решить уравнение \left|\left|x-1\right|-4\right|=3.

Ответ
x=-6; x=0x=2; x=8  
Решение

    \[\left|\left|x-1\right|-4\right|=3\]

Модуль равен 3, если выражение под знаком модуля равно 3 или -3:

    \[\begin{bmatrix}\left|x-1\right|-4=3,\\\left|x-1\right|-4=-3;\]

    \[\begin{bmatrix}\left|x-1\right|=7,\\\left|x-1\right|=1.\]

Модуль равен 7, если выражение под знаком модуля равно 7 или -7. Поэтому от уравнения \left|x-1\right|=7 переходим к совокупности (объединению) уравнений:

    \[\begin{bmatrix}x-1=7,\\x-1=-7.\]

Модуль равен 1, если выражение под знаком модуля равно 1 или -1. Поэтому от уравнения \left|x-1\right|=1 переходим к совокупности (объединению) уравнений:

    \[\begin{bmatrix}x-1=1,\\x-1=-1.\]

Получаем общую совокупность уравнений:

    \[\begin{bmatrix}x-1=7,\\x-1=-7,\\x-1=1,\\x-1=-1;\]

    \[\begin{bmatrix}x=8,\\x=-6,\\x=2,\\x=0.\]

Пример 5. Решить уравнение \left|\left|\left|x-3\right|-3\right|-3\right|=3.

Ответ
x=-6; x=0x=6; x=12  
Решение

    \[\left|\left|\left|x-3\right|-3\right|-3\right|=3,\]

    \[\begin{bmatrix}\left|\left|x-3\right|-3\right|-3=3,\\\left|\left|x-3\right|-3\right|-3=-3;\]

    \[\begin{bmatrix}\left|\left|x-3\right|-3\right|=6,\\\left|\left|x-3\right|-3\right|=0;\]

    \[\begin{bmatrix}\left|x-3\right|-3=6,\\\left|x-3\right|-3=-6,\\\left|x-3\right|-3=0;\]

    \[\begin{bmatrix}\left|x-3\right|=9,\\\left|x-3\right|=-3,\\\left|x-3\right|=3.\]

Уравнение \left|x-3\right|=-3 не имеет корней, так как модуль не может принимать отрицательные значения. Получаем совокупность:

    \[\begin{bmatrix}\left|x-3\right|=9,\\\left|x-3\right|=3;\]

    \[\begin{bmatrix}x-3=9,\\x-3=-9,\\x-3=3,\\x-3=-3;\]

    \[\begin{bmatrix}x=12,\\x=-6,\\x=6,\\x=0.\]

Пример 6. Решить уравнение \left|8-\left|x+2\right|\right|=7.

Ответ
x=-17; x=-3x=-1; x=13  
Решение

    \[\left|8-\left|x+2\right|\right|=7,\]

    \[\begin{bmatrix}8-\left|x+2\right|=7,\\8-\left|x+2\right|=-7;\]

    \[\begin{bmatrix}-\left|x+2\right|=-1,\\-\left|x+2\right|=-15;\]

    \[\begin{bmatrix}\left|x+2\right|=1,\\\left|x+2\right|=15;\]

    \[\begin{bmatrix}x+2=1,\\x+2=-1,\\x+2=15,\\x+2=-15;\]

    \[\begin{bmatrix}x=-1,\\x=-3,\\x=13,\\x=-17.\]

Задания для самостоятельного решения:

1) \left|3x+2\right|=4

Ответ
x=-2; x=\frac23

2) \left|125x-34\right|=-2

Ответ
нет корней

3) \left|x^2+x\right|=0

Ответ
x=-1; x=0

4) \left|\left|x+3\right|-4\right|=1

Ответ
x=-8; x=-6; x=0; x=2

5) \left|\left|\left|x-3\right|+3\right|-3\right|=3

Ответ
x=0; x=6

6) \left|10-\left|x-1\right|\right|=8

Ответ
x=-17; x=-1; x=3; x=19

Источник: Ершова А.П., Голобородько В.В., Ершова А.С. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 7 класса. – М.: ИЛЕКСА, 2013. – 208 с.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте, как обрабатываются ваши данные комментариев.